벡터2

선형 독립성

부분공간(subspace)

기저(basis)

 

영벡터

모든 성분이 0인 벡터

 

벡터 집합

 

선형 가중 결합(linear weighted combination)

벡터 집합에서 벡터의 차원이 같을 때

각 벡터의 차원에 스칼라를 곱한 다음 합해 하나의 벡터를 만드는 것

w는 선형 결합으로 생성된 벡터

c1, c2, ..., cn은 각 벡터에 곱해지는 스칼라

 

 

선형 독립성

벡터 집합에서 적어도 하나의 벡터가

집합 내의 다른 벡터들의 선형 가중 결합으로 나타낼 수 있을 때 벡터 집합은 선형 종속적
집합 내의 다른 벡터들의 선형 가중 결합으로 나타낼 수 없을 때 벡터 집합은 선형 독립적

 

선형 종속적이라면

 

이 공식을 바꾸면

적어도 하나의 스칼라값이 0이 아닐 때 (적어도 하나의 c =/= 0)

선형 종속적이면 벡터들의 선형 가중 결합으로 영벡터를 만들 수 있다.

선형 독립적이면 벡터들의 선형 가중 결합으로 영벡터를 만들 수 없다.

 

+ 영벡터가 포함된 모든 벡터 집합은 선형 종속적

공식을 이용하면 벡터 집합 내에 영벡터가 포함되어 있을 때

적어도 하나의 스칼라 값(영벡터의 스칼라 값)이 0이 아닌 값을 가질 수 있기 때문에 선형 종속적이다

-> 벡터 집합 내에 영벡터가 포함된다면 그 벡터 집합은 선형 종속적

 

부분공간(subspace)과 생성(span)

부분공간: 벡터 집합 안에서 벡터들의 선형 결합으로 만들 수 있는 모든 벡터들이 포함된 공간

벡터 부분공간 만드는 법: 동일한 벡터를 사용하면서, 가중치를 다르게 선택하여 무한히 선형 결합하는 방식

벡터집합의 생성: 가능한 모든 선형 가중 결합을 구성하는 메커니즘

 

모든 가중치를 0으로 설정했을 때 만들어지는 영벡터도 부분공간에 존재

부분공간 안에 있는 벡터들의 선형 가중 결합으로 만들어지는 벡터도 부분공간에 존재

생성 부분공간의 차원과 벡터 수의 관계: 부분공간의 차원은 선형 독립 집합을 형성하는 데 필요한 최소한의 벡터 수
선형 독립적

부분공간의 차원 = 벡터 수
선형 종속적

부분공간의 차원 < 벡터 수

기저(basis)

벡터 공간을 구성하는 최소한의 벡터 집합

해당 벡터 공간의 모든 벡터를 선형 결합으로 표현할 수 있도록 해주는 독립적인 벡터들의 집합

벡터 집합이 특정 부분공간을 생성하고 선형 독립적이라면 그 집합은 해당 부분공간의 기저

데카르트 기저 집합
서로 직교하며, 단위 길이인 벡터로 이루어짐
2차원 데카르트 기저 집합: {[1,0],[0,1]} 

3차원 데카르트 기저 집합:  {[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]}

 

같은 부분공간이라고 해도, 그 부분공간을 표현하는 기저는 다를 수 있다

-> 어떤 부분공간에 대한 최적의 기저벡터 집합을 찾는 것이 중요